题目描述

leetcode 第304题：二维区域和检索 - 矩阵不可变
给定一个二维矩阵，计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的左上角为 (row1, col1) ，右下角为 (row2, col2) 。

上图子矩阵左上角 (row1, col1) = (2, 1) ，右下角(row2, col2) = (4, 3)，该子矩形内元素的总和为 8。
示例：
给定 matrix = [
[3, 0, 1, 4, 2],
[5, 6, 3, 2, 1],
[1, 2, 0, 1, 5],
[4, 1, 0, 1, 7],
[1, 0, 3, 0, 5]
]
sumRegion(2, 1, 4, 3) -> 8
sumRegion(1, 1, 2, 2) -> 11
sumRegion(1, 2, 2, 4) -> 12

解题方法

前缀和
原址题解

解题思路

定义m和n分别表示二维矩阵matrix行和列
定义二维矩阵preSums，preSums[i][j]赋初始值为0，行和列的长度分别为m+1和n+1
在[i,m)[j,n)范围内嵌套遍历matrix，计算从[0,0]到[i,j]坐标内所有元素之和
每次调用sumRegion，即要求从[row1,col1]到[row2,col2]坐标内所有元素之和
参照下面的图解：

所要求得黄色区域元素和=黑色-蓝色-绿色+红色
得出公式：
sumRegion=preSums[row2+1][col2+1]-preSums[row1][col2+1]-preSums[row2+1][col1]+preSums[row1][col1]

复杂度

时间复杂度：初始化为O(mn)，m和n是二维矩阵preSums的行和列，每次调用是O(1)
空间复杂度：O(mn)

代码实现

python3

class NumMatrix:
    def __init__(self, matrix: List[List[int]]):
        m,n = len(matrix),(len(matrix[0]) if matrix else 0)
        self.preSums = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                self.preSums[i+1][j+1] = self.preSums[i][j+1]+self.preSums[i+1][j]-self.preSums[i][j]+matrix[i][j]

    def sumRegion(self, row1: int, col1: int, row2: int, col2: int) -> int:
        return self.preSums[row2+1][col2+1]-self.preSums[row1][col2+1]-self.preSums[row2+1][col1]+self.preSums[row1][col1]

php

class NumMatrix {
    function __construct($matrix) {
        $m = count($matrix);
        $n = count($matrix[0]);
        $this->preSums = [];
        for($i=0;$i<$m;$i++){
            for($j=0;$j<$n;$j++){
                $this->preSums[$i+1][$j+1] = $this->preSums[$i][$j+1]+$this->preSums[$i+1][$j]-$this->preSums[$i][$j]+$matrix[$i][$j];
            }
        }
    }
    
    function sumRegion($row1, $col1, $row2, $col2) {
        return $this->preSums[$row2+1][$col2+1]-$this->preSums[$row1][$col2+1]-$this->preSums[$row2+1][$col1]+$this->preSums[$row1][$col1];
    }
}